sifat-sifat bilangan real

BAB I

PENDAHULUAN

1.1       LATAR BELAKANG

Banyak orang yang beranggapan bahwa Matematika itu rumit, karena alasan itulah banyak orang yang menghindari Matematika. Padahal Matematika dapat kita jumpai di dalam kehidupan sehari-hari, dan mau tidak mau kita pasti menggunakan Matematika. Oleh karena itu kami membuat makalah ini dengan maksud membantu pemahaman masyarakat agar mereka tidak menilai Matematika adalah sesuatu yang buruk.

1.2       TUJUAN

Makalah ini dibuat dengan tujuan utama untuk memenuhi tugas mata kuliah Analisa real , yang diberikan oleh dosen kami ibu Nur Afifah,Mpd. Dan tujuan berikutnya adalah sebagai sumber informasi yang kami harapkan bermanfaat dan dapat menambah wawasan para pembaca makalah ini.

1.3       METODE PENULISAN

Penulis menggunakan metode observasi dan kepusatakaan.

Cara yang digunakan dalam penulisan adalah Studi pustaka.

Dalam metode ini penulis membaca buku-buku yang berkaitan dengan penulisan makalah ini, selain itu penulis juga mencari sumber-sumber dari internet.

BAB II

Sifat-sifat pada bilangan real

2.2.1 Definisi

                P   R, P  0 disebut bilangan real positif murni jika memenuhi sifat-sifat berikut :

(i)                  Jika a,b P, maka  a + b  P (positif real murni )

(ii)                Jika a,b  P, maka ab  P

(iii)               Jika a  R, maka a P, a = 0, -a  P (sifat Trikotomi )

2.2.2 Definisi

(i)                  Jika a  P, maka a > 0

(ii)                Jika a  P  V  a = 0, maka a 0

(iii)               Jika -a  P, maka a < 0

(iv)              Jika -a  P  V  a =0, maka a0

2.2.3 Definisi

(i)                  Jika a-b  P, maka a > b V b <a

(ii)                Jika a-b  P V {0}, maka a  b  V  b  a

2.2.4 Teorema

(a)    Jika a > b    b > c, maka a > c

(b)   Jika a > b, a = 0, a < b

(c)    Jika a  b    b  c, maka a = b

a.       Jika a > b    b > c, maka a > c

Bukti :

a > b         a-b   P                                                                              def 2.2.3

b > c          b-c   P                                                                              def 2.2.3

(a-b ), (b-c) P                       (a-b) + (b-c)  P                                          def 2.2.1

                                      (a+(-b)) + (b+(-c))  P                              def +

                                      (a+(-b)+b) + (-c)  P                                 A2

                                      (a+ (-b +b )) + (-c)  P                              A2

                                      (a +0 ) + (-c)  P                                         A4

                                      (a+ (-c))  P                                                  A3

                                      a-c  P                                                            def +

                                      a > c                                                                 def 2.2.3

b.      Jika a > b, a = 0, a < b

Bukti :

a-b  P        a-b  P  V  a-b =0

-(a-b)  P

Ø  a - b  P                a > b                                                      def 2.2.3

Ø  a -b = 0                                 (a + (-b))              = 0                          def +

(a + (-b)) +b        = 0 + b                   kanselasi

(a + (-b+b ))        = 0 + b                   A2

(a + 0 )                  = 0 + b                   A4

a              = 0                          A3

Ø  -(a-b)  P             -1 (a-b )  P                                        teor 2.1.5 (b)

-1 (a+(-b))   P                                  def +

-1.a + (-1) (-b)  P                            D

-a + b  P                                            teor 2.1.5 (b )

b – a  P                                               A1

b > a   V  a < b                                     def 2.2.3

c.       Jika a  b    b  c, maka a = b

Bukti :

Pengandaian a bb

                a  b                     a – b   0

                a – b   0             a – b > 0   V a – b < 0

Ø  a – b > 0               (a- b )  P                                            def 2.2.2

                                        a > b                                                      def 2.2.3

        a > b kontradiksi dengan hipotesis  a  b

Ø  a – b < 0               -(a-b )   P                                           def 2.2.2                             

                                        -1(a-b)   P                                         teor 2.1.5

                                        ((-1).a)+ ((-1)(-b))   P                   D

                                        (-a) + (b)  P                                     teor 2.1.5

                                        (b-a )   P                                            A1

                                        b  > a  atau a < b                                def 2.2.3

        a   b kontradiksi dengan hipotesis  b  a

dari persamaan 1 dan 2 terjadi kontradiksi berarti maka pengandaian harus a = b terbukti bahwa a   b    b  a        a = b

2.2.5 teorema

(a)    Jika a  R dan a  0, maka a² > 0

(b)   Jika 1 > 0

(c)     Jika n  N, maka n = 0

a.    a  R             a  P , -a  P ( karena  a  0, maka a = 0 di abaikan )

Ø    a  P              a.a   P                                 sifat 2.2.1

                        a²    P                                   perkalian

a²  P`           a² > 0                                     def 2.2.2

Ø    -a   P           (-a) (-a )  P                        sifat 2.2.1

                        (-1. a) (-1.a)  P                                teor 2.1.5

                        (-1. -1) (a.a)  P                                teor 2.1.5

                        1. a²  P                                teor 2.1.5

                        a²  P                                    teor 2.1.5 ©

a²  P            a² > 0                                     def 2.2.2

 

b.      1 > 0  (dengan menggunakan teorema 2.2.5 )

a  R dan a 0                     a² > 0

dimisalkan a = 1

1   R dan  1 0                  1²  > 0

                                                  1.1 > 0

                                                  1 > 0

c.       Jika n  N, maka n = 0

Menggunakan induksi matematika

Bukti :

Ø  P(1) adalah 1 > 0, P (1) benar

Ø  Diasumsikan bahwa P (n) benar untuk n  N yaitu n > 0, P (n +1 ) benar yaitu n+1 > 0

Ø  Jadi, P (n+1 ) benar , sebagai n > 0 benar, n  R

2.2.6 teorema

(a)    Jika a > b, maka a + c > b + c

(b)   Jika a > b c > d, maka a + c > b + d

(c)    Jika a > b c > 0, maka ca > cb

Jika a > b   c < 0, maka ca < cb

(d)   Jika a > 0, maka 1/a > 0

Jika a < 0, maka 1/a < 0

a.       Jika a > b, maka a + c > b + c

Bukti :

        a > b              a – b   P                                              def 2.2.3

                                (a + c ) – b  P                                    A3

                                (a+ (c + (-c)) – b  P                        A4

                                (a + c) – ((-c) – b )  P                     A2

                                (a +c )- (c+b)  P                               def +

                                (a + c ) – ( b+ c )  P                         A1

                                (a+c ) > (b + c)                                   def 2.2.3

b.      Jika a > b c > d, maka a + c > b + d

Bukti :

        a > b              ( a- b )  P                                                                           def 2.2.3

        c > d               (c – d )  P                                                                           def 2.2.3

        ( a – b ) (c –d)            (a –b ) + (c-d )  P                                            def 2.2.1

                                                (a + ( -b )) + (c + (-d))  P                              def +

                                                (a + (-b) + c ) + (-d )  P                                 A2

                                                (a +c ) +                (-b )) + (-d)  P                                 A1

                                                (a + c ) + ((-b) + (-d))  P                                               A2

                                                (a + c ) – (b +d )  P                                         def +

                                                a + c > b + d                                                        def 2.2.3

c.       1. Jika a > b c > 0, maka ca > cb

Bukti :

        a > b              (a – b )  P                                                                          def 2.2.3

        c > 0               (c – 0 )                   c  P                                                      def 2.2.3

                (a – b ). C  P                     (a – b ). C  P                                     def 2.2.1

                                                                (a . c ) – (b . c )  P                           D

                                                        (c . a ) - (c . b )  P                            M1

                                                                C. a > c. b                                             def 2.2.3

2. Jika a > b   c < 0, maka ca < cb

Bukti :

        a > b              (a-b)  P                                              def 2.2.3

        c < 0               - c  P                                                    def 2.2.2

                                (a –b ). (-c) P                  a . b  P                                def 2.2.1

                                                                                (a – b ) . (-c)  P                                def 2.2.1

                                                                                (a (-c)) + ( b .c )  P          D

                                                                                -c. a + c . b  P                   M1

                                                                                c.a < cb                                 def 2.2.3

d.      1. Jika a > 0, maka 1/a > 0

Bukti :

        a > 0               1/a > 0

        andaikan      1/a  0                 1/a < 0                  1/a = 0

(i)                  1/a < 0                  -1/a  P                                                def 2.2.3

                                a.1/a  P                              M4

                                -1  P                                    M3

                                -1 > 0                                     def 2.2.3

                                                                1 < 0                                       def 2.2.2

                                Terjadi kontradiksi dengan hipotesis a > 0

(ii)                1/a = 0                  a. 1/a = 0                              kanselasi

                                        1 = 0                               M4 dan teor. 2.1.5

Kontradiksi 1 0

Kesimpulan : dari per (i) dan (ii) terjadi kontradiksi dengan hpotesis. Jadi pengandaian salh, maka harus 1/a > 0

2. Jika a < 0, maka 1/a < 0

Bukti :

Andaikan  1/a 0            1/a >0                   1/a = 0

(i)                  1/a >0                   1/a  P                                  def 2.2.3

                                a.1/a  P                              kanselasi

                                1  P                                      M4

                                1 > 0                                       (kontradiksi dengan hipotesis ) 

(ii)                1/a = 0                  a.1/a = 0                               kanselasi

                                        1 = 0                               M4 dan teor 2.1.5

Kontradiksi 1 0

Kesimpulan : dari per (i) dan (ii) terjadi kontradiksi dengan hipotesis berarti pengandaian salah maka haruslah 1/a > 0

2.2.7 teorema

Jika a, b   R, jika a > b, maka a > ½ (b+a) > b

Bukti : 

                a > b                      a + a > 2 + b

                                                2a > a + b

                a > b                      a + b > b+ b

                                                a + b > 2b

2a > a  + b a + b > 2b                  2a > a+ b > 2b

                Karena                  2    N                                                   teor. 2.2.5 ©

                                                2 >  0

Maka     1/a > 0                                                                                 teor 2.2.6 (d)

                1/2 >  0

(1/2)(2a)     >  (1/2) (a+b)  >  (1/2)(2b)                                     setiap ruas dikali 1/2

(1/2.2) (a)   >  (1/2)(a+b)   >  (1/2.2).b                                      M2

            1.a   >  (1/2) (a+b )  >   1.b                                                 M4

                a    >  ½ (a+b)         >  b                                                     M3

2.2.8 teorema

Jika a  R dan a > 0, makaa > ½ a > 0

Bukti :

                a > 0                       a +a > a+ 0

                a > 0                       0 + a > 0 + 0

2a > a + 0  a + 0 > 0 + 0               2a > a > 0

                Karena                  2   N

                                                2 >  0

Maka     1/a > 0

                ½ > 0

(1/2 ) (2a) > ( ½ ) (a) > (1/2 ) (0)                                  setiap ruas dikali ½

( ½ 2) (a)   > ( ½ ) (a)  > ½ (0)                                         M2

                1.a > ½ (a) > 0                                                    M4

                a > ½ a > 0                                                           M3

2.2.9 teorema

                Jika a  R , 0  a <,  adalah bilangan real, maka a = 0

                Bukti :

                Andaikan             a  0      a > 0       a< 0

                a > 0       a > ½  >0                                                               teor 2.2.8

                misalkan ₀ = ½ a                  a > ₀  > 0           (i)            kontradiksi dengan hipotesis

dari pers (i) (a > ₀ > 0) terjadi kontradiksi dengan hipotesis a <  berarti pengandaian salh, maka haruslah a = 0

2.2.10 teorema

(a)    Jika ab > 0, maka a > 0 dan  b > 0

(b)   Jika ab > 0, maka a < 0 dan b < 0

a.       ab > 0                  a > 0 b > 0

Bukti :

ab > 0                  a  0 b  0

a  0                    a > 0                       a < 0

Ø  a > 0

a > 0                      ab  P                                                                   def 2.2.2             

a > 0                      1/a > 0                                                                  teor.2.2.6

1/a > 0                  1/a  P 

                (ab). (1/a)  P                    (ab) (1/a)  P                    

                                                                a (b. 1/a)  P                      M2

                                                                a (1/a. b)  P                      M1

                                                                (a.1/a).b  P                       M2

                                                                1.b  P                                  M4

                                                                b  P                                      M3

                                                                b > 0     

b.      ab > 0                  a <0 b < 0      

bukti :

Ø  a < 0

ab > 0                    ab  P                                                                   def 2.2.2

a < 0                      1/a < 0                                                                  teor 2.2.6

1/a < 0                  -1/a  P                                                                                def 2.2.2

                (ab). (-1/a)  P                  (ab) (-1/a)  P                   def 2.2.1

                                                                a ( b.(-1/a))  P                 M2

                                                                a ((-1/a).b) P                  M1

                                                                ( a.(-1/a))b  P                  M2

                                                                (-1/a. a) b  P                    M1

                                                                {(-1.1/a).a }b  P              teor 2.1.5

                                                                (-1.(1/a.a)b  P                 M2

                                                                (-1.1)b  P                           M4

                                                                (-1)b  P                              teor 2.1.5

                                                                b < 0                                      def 2.2.2

2.2.11 Corollary

(a)    jika ab < 0, maka a <0 dan b > 0

(b)   jika ab < 0, maka a >0 dan b < 0

a.       ab < 0            a < 0 b > 0

bukti :

ab < 0            a 0   b  0

a  0             a > 0       a < 0

        ab < 0                    - (ab)  P                                                             def 2.2.2

        a < 0                       -(1/a ) < 0                                                            teor 2.2.6

-1/a < 0                 -1/a  P                                                                                def 2.2.2

-(ab).(-1/a )  P                                -(ab) (-1/a)  P                                  def 2.2.1

                                                -1(ab)(-1.1/a)  P                             teor 2.1.5

                                                -1(ab.-1)(1/a)  P                             M2

                                                -1(-1.ab) (1/a)  P                            M1

                                                (-1.-1 )(ab) (1/a)  P                       M2

                                                1(ab) (1/a)  P                                   teor 2.1.5

                                                1(ab.1/a)  P                                      M1

                                                1(b.a.1/a)  P                                    M1

                                                1.b (a.1/a)  P                                   M2

                                                1.b.1 P                                               M4

                                                (1.b)1  P                                            M2

                                                b.1  P                                                  M3

                                                b > 0                                                      def 2.2.2

b.      Ab < 0           a > 0 b < 0

Bukti :

Ab < 0           a > 0 b < 0

                        a  0 b  0

a  0             a > 0       a < 0

ab < 0            -(ab) (1/a)   P

a > 0              1/a P

1/a > 0          1/a P

        -(ab). (1/a)  P                  -(ab) (1/a)  P                                   def 2.2.1

                                                        -1(ab) (1/a)  P                                 teor 2.1.5

                                                        -1.a (b. 1/a ) P                                M2

                                                        -1.a (1/a. b)  P                                 M1

                                                        -1(a.1/a) b  P                                   M2

                                                        -1. (1) b  P                                         M4

                                                        (-1.1) b  P                                          M2

                                                        -1.b  P                                                                teor2.1.5

                                                        b < 0                                                      def 2.2.2

2.2.12 KETAKSAMAAN BERNOULLI

Jika x > -1, maka  (1 + x )ⁿ   1 + nx , n   N

 Bukti :

Dengan menggunakan induksi matematika

Misal :

                    S    = { n  N : ( 1 + x )ⁿ  1 + nx }

                P (n) =  ( 1 + X)ⁿ  1 + nx    dan  S  n

                P (1) = ( 1 + x )¹  1 + 1 x

                         = ( 1 + x   )  1 + X                   p (1) benar

Jika p(n) benar                  p( n+ 1 ) benar

Bukti :

                P( n)                      = ( 1 + n)ⁿ  (1 + nX )

                P ( n + 1)              = ( 1 + n ) ⁿ⁺¹  ( 1 +(n+1) x)

                                                = ( 1+ X )ⁿ (1 + x ) ( 1 +( n+1) x)

                                                = (1 + nx) (1 + x)  1 + (n + 1) x

                                                = 1 + x + nx + nx²  1 + (n +1) x

                                                = 1 + (n + 1) + nx²  1 + (n + 1) x

Karena P (1) benar  a  b maka P (n + 1) benar

                               

                                       

BAB III

PENUTUP

Saran

Alangkah baiknya kita mengenal Matematika dulu sebelum kita menganggap Matematika itu sulit, karena bila kita telah mengenal Matematika dengan baik dan menikmati bagaimana Matematika itu bekerja akan terasa bahwa Matematika itu tidaklah seburuk apa yang kita pikirkan.