Barisan Monoton
3.3 BARISAN MONOTON
Pada bagian ini akan di bahas suatu
metode untuk menentukan konvergensi suatu barisan yang tidak di ketahui
‘’calon’’nilai limit dari barisan tersebut. Metode ini digunakan hanya pada
barisan monoton.
3.3.1 Defenisi
Misalkan X = (xn) sebuah
barisan bilangan real.
a) X
dikatakan naik tegas jika memenuhi pertidaksaman berikut
x1 < x2
<....< xk <...<xn < xn+1 <...
b) X
dikatakan naik jika memenuhi pertidaksamaan berikut
x1
x2
....
xk
..
.xn
xn+1
...
c) X
dikatakan turun tegas jika memenuhi
pertidaksamaan berikut.
x1 > x2>...>
xk>...>xn > xn+1>...
d) X
dikatakan turun jika memenuhi
pertidaksamaan berikut.
x1
x2
..
xk...
xn
xn+1...
3.3.2 Defenisi
Barisan X=(Xn)
dikatakan monoton jika berlaku salah satu X naik atau X turun
3.3.3 Contoh
a) Barisan
berikut ini naik (monoton)
(i)
(1,2,3,4,...n...)
(ii)
(1,2,2,3,3,3,...)
(iii)
(a,a
,a3,a4,...an....)
jika a > 1
b)
Barisan berikut ini turun (monoton)
(i)
( 1,
, ...
...)
(ii)
( 1,
(iii)
(b,b2,b3,b4,....,bn,....) jika 0
< b < 1
c)
Barisan berikut ini tidak monoton
(i)
(1,-1,1,-1,...(-1)n+1,...)
(ii)
(-1,2,-3,4,...)
d)Barisan berikut ini
monoton tiba-tiba ‘’ULTIMATLY MONOTON’’
(i) -(7,6,2,1,2,3,4,...)
(ii) -(100,200,-20,50,-2,0,1,1/2,1/3,1/4,..)
3.3.4 Teorema Konvegerensi Monoton
Misalkan X = (xn)
barisan monoton, X konvergen jika dan hanya jika x terbatas. Lebih lanjut
a. jika
X = (xn) barisan naik terbatas maka lim (xn)
= sup {xn}
b. jika
X = (xn) barisan turun terbatas maka lim (xn) = inf {xn}
teorema 3.3.2. dapat di
tulis sebagai berikut : misalkan X= (xn), n
N
X monoton . x konvergen
X
terbatas.
a. X
= (xn) naik terbatas
lim
(xn) = sup {xn}
b. X
= (xn) turun terbatas
lim (xn) = inf {xn}
Bukti (1)
X barisan monoton dan
konvergen ,jika X konvergen , berdasarkan teorema 3.3.2 maka X terbatas
Bukti (2).
X
monoton terbatas berarti X naik terbatas atau X turun terbatas.
a. Pada
kasus X = (xn) naik terbatas .
X monoton naik
xn
xn+1,
n
N
xn)} : n
N}
(xn) naij
terbatas
(
M
R
˄ M > 0 )
|
xn|
M ,
n
N.
Oleh sebab itu
{(xn) : n
N
} terbatas di atas
Karena
xn)} : n
N}
dan juga terbatas di atas sehingga
xn)} : n
N}
Mempunyai supremum.
Misal x = sup
{xn : n
N}
Akan
di tunjukan bahwa : x = lim X
Di berikan
> 0 sebarang , berdasarkan lemma
1.4.3,
x = sup
{xn : n
N}
(
xk untuk suatu k
N)
x
–
< xk
karena X barisan naik
di peroleh
x –
< xk
xn
x
,
n
K
-
< xk –x
xn – x
0 <
n
K
-
< xk –x <
n
K
| xn –
x| <
n
K
v (
> 0 ) (
K
N)
| xn –
x| <
n
K]
v Lim
X = x = sup xn : n
N
}.
v X
konvergen ke x
b. Pada
kasus X = (xn) turun terbatas
Misal Y : -X = (-xn) , sehingga Y naik
terbatas.
Berdasarkan (a) di
peroleh
Lim Y = sup {- xn
: n
N
}.
Klaim : sup {-
xn : n
N
}. = - inf {- xn : n
N
}.
di peroleh , Lim X =
-lim (-X) (teorema
3.2.3)
= -lim Y (karena Y = -X)
` = ifn {xn : n
N
}.
Dengan demikian X
konvergen ke inf {xn : n
N
}.atau lim (xn) inf {xn
: n
N
}.
Bukti :
Akan dibuktikan sup { -xn :
N
} = inf { xn : n
N
}
Misalkan inf { xn : n
N
} = u
u = inf { xn : n
N
} Þ
u
xn,
n
N
Þ
-u
-xn,
n
N
Þ
-u batas atas dari { -xn : n
N
}
Misalkan w sebarang
batas atas dari { -xn : n
N }
w sebarang batas atas
dari { -xn : n
N
} Þ
w
-xn,
n
N
Þ -w
xn,
n
N
Þ -w batas atas dari { xn : n
N
}
-w batas atas dari { xn
: n
N
} Þ
-w
u
= inf { xn : n
N
}
Þ w
-u
Karena –u batas atas {
-xn : n
N
} dan w sebarang batas atas { -xn : n
N
} menyebabkan w
-u, dengan demikian –u = sup { -xn
: n
N
}. Jadi, sup { -xn : n
N
} = - inf { xn : n
N
}
Kesimpulan lim X = -lim
Y = -sup { -xn : n
N
} = inf { xn : n
N
}.
Teorema konvergensi kemonotonan
menjamin eksistensi limit dari barisan monoton terbatas. Teorema ini juga
merupakan salah satu cara untuk menentukan limit dari barisan asalkan kita
dapat menduga supremum dalam kasus (a) atau infimum dalam kasus (b)
3.3.5 Contoh
(a) lim (
) = 0
Bukti :
Akan di tunjukkan
dengan menggunakan teorema konvergensi monoton. Karena suku-suku dari (
) terbatas di bawah dengan 0.
Sehingga {
:
n
N}
mempunyai infimum.
Klaim : inf {
:
n
N
} = 0.
Karena inf {
:
n
N}
= 0, berdasarkan teorema 3.2.3, maka lim (
) = 0
Bukti klaim :
Berdasarkan lemma 1.4.3,
Ambil
, ada
k
N,sedemikian sehingga 0 +
=
Jadi inf {
:
n
N}
= 0.
(b) Misalkan xn
= 1
,
n
N
Akan ditunjukkan bahwa (xn)
tidak konvergen.
Bukti:
xn : 1
,
n
N
xn+1= xn+
xn
Sehingga (xn)
barisan naik.
Untuk menunjukkan
barisan (xn) tidak konvergen cukup dengan menunjukkan barisan (xn)
tidak terbatas. Kita perhatikan pada suku ke-2n.
X2n
= 1+
+…+
1
+
= 1 +
= 1 +
…+
= 1
X2n
Kita perhatikan (1+
). (
M
R Ù
M
0 ) (
n
N
)
n
2M.
Sehingga 1+
1
+
=
1+ M
M.
Jadi ( 1+
) tidak terbatas. Oleh karena x2n
1
+
,
n
N
sehimgga (xn) tidak terbatas. Oleh karena itu (xn) tidak
konvergen.
(c) Misalkan Y= (yn),
dengan y1 : = 1, yn+1 : =
(2yn + 3) untuk ≥ 1.
Akan ditunjukkan bahwa limit Y =
Bukti :
Akan ditunjukkan bahwa
Y konvergen.
(i). Akan dibuktikan :
yn terbatas.
y1 : = 1, y2 =
.
ini berarti y1
y2
2
dengan menggunakan
induksi matematika, akan ditunjukkan yn
2
n
N
misalkan S1 :
={ n
N,
yn
2}
(i)
y1 : = 1
jadi 1
S1.
(ii)
Asumsikan k
S1
yaitu yk
2,
akan ditunjukkan k+1
S1.
yk+1 =
(2yk + 3)
(4+3) =
jadi k+1
S1.
Dari (i) dan (ii) disimpulkan
yn
n
N
(ii). Akan ditunjukkan
Y monoton naik.
Misalkan S2 : = { n
N | yn
yn+1
}.
(i)
n = 1, 1= y1
y2
=
. Jadi 1
S1.
(ii)
Asumsikan benar k
S2
berarti yk
yk+1 akan
ditumjukkan k+1
S2
apabila yk+1
y2+1
Bukti:
yk
yk+1 Û
2 yk
2
yk+1
Û
2 yk + 3
2
yk+1 + 3
Û
(2
yk + 3)
(
2 yk+1 +3 )
Û
yk+1 =
(2
yk + 3)
(
2 yk+1 +3 ) = yk+2
k+1
S.
Dari (i) dan (ii) disimpulkan yn
yn+1
n
N.
Karena Y terbatas dan
monoton maka Y konvergen. Pada kasus ini tidak mudah untuk menentukan lim (yn)
dengan mencari sup { yn : n
N
}. Cara lain yang di gunakan untuk menentukan lim (yn) adalah dengn
menggunakan T.3.1.8. Misalkan lim (yn) = y
yn+1 =
(2
yn + 3 )
lim (yn+1) = lim
(2
yn + 3 )
=
(2
y + 3 )
Karena lim (yn)
= lim (yn+1), maka y =
(2
y + 3 )
=
y
+
=
Disimpulkan bahwa : lim
(yn) =
DAFTAR
PUSTAKA
