Powered By Blogger

Sabtu, 13 Desember 2014

barisan monoton



Barisan Monoton
3.3 BARISAN MONOTON
Pada bagian ini akan di bahas suatu metode untuk menentukan konvergensi suatu barisan yang tidak di ketahui ‘’calon’’nilai limit dari barisan tersebut. Metode ini digunakan hanya pada barisan monoton.
3.3.1 Defenisi
Misalkan X = (xn) sebuah barisan bilangan real.
a)      X dikatakan naik tegas jika memenuhi pertidaksaman berikut
x1 < x2 <....< xk <...<xn < xn+1 <...
b)      X dikatakan naik jika memenuhi pertidaksamaan berikut
x1  x2  .... xk  .. .xn  xn+1  ...
c)      X dikatakan turun tegas  jika memenuhi pertidaksamaan berikut.
x1 > x2>...> xk>...>xn > xn+1>...
d)     X dikatakan turun  jika memenuhi pertidaksamaan berikut.
x1  x2 .. xk... xn  xn+1...

3.3.2 Defenisi
Barisan X=(Xn) dikatakan monoton jika berlaku salah satu X naik atau X turun
 3.3.3 Contoh
a) Barisan berikut ini naik (monoton)
            (i) (1,2,3,4,...n...)
            (ii) (1,2,2,3,3,3,...)
            (iii) (a,a ,a3,a4,...an....) jika a > 1
            b) Barisan berikut ini turun (monoton)
            (i) ( 1, , ... ...)
            (ii) ( 1,
            (iii) (b,b2,b3,b4,....,bn,....) jika 0 < b < 1
            c) Barisan berikut ini tidak monoton
            (i) (1,-1,1,-1,...(-1)n+1,...)
            (ii) (-1,2,-3,4,...)
d)Barisan berikut ini monoton tiba-tiba  ‘’ULTIMATLY  MONOTON’’
(i)  -(7,6,2,1,2,3,4,...)
(ii) -(100,200,-20,50,-2,0,1,1/2,1/3,1/4,..)

3.3.4 Teorema Konvegerensi Monoton
Misalkan X = (xn) barisan monoton, X konvergen jika dan hanya jika x terbatas. Lebih lanjut
a.       jika X = (xn) barisan naik terbatas maka lim (xn) = sup {xn}
b.      jika X = (xn) barisan turun terbatas maka lim (xn) = inf {xn}
teorema 3.3.2. dapat di tulis sebagai berikut : misalkan X= (xn), n  N
X monoton . x konvergen  X terbatas.
a.       X = (xn) naik terbatas  lim (xn) = sup {xn}
b.      X = (xn) turun terbatas lim (xn) = inf {xn}

Bukti (1)
X barisan monoton dan konvergen ,jika X konvergen , berdasarkan teorema 3.3.2 maka X terbatas
Bukti (2).
            X monoton terbatas berarti X naik terbatas atau X turun terbatas.
a.       Pada kasus X = (xn) naik terbatas .
X monoton naik  xn  xn+1,  n  N
                            xn)} : n  N}
(xn) naij terbatas ( M  R ˄ M > 0 )  | xn|  M ,  n  N. Oleh sebab itu
{(xn) : n  N } terbatas di atas
Karena  xn)} : n  N}  dan juga terbatas di atas sehingga  xn)} : n  N}
Mempunyai supremum.
Misal x = sup {xn : n  N}
Akan di tunjukan bahwa : x = lim X
Di berikan > 0 sebarang , berdasarkan lemma 1.4.3,

x = sup {xn : n  N}  ( xk untuk suatu k  N)  x –  < xk
karena X barisan naik di peroleh
x –  < xk  xn  x ,  n K -  < xk –x xn – x 0 <  n K
                                                 -  < xk –x <  n K
                                                | xn – x| <  n K
v  ( > 0 ) ( K  N) | xn – x| <  n K]
v  Lim X = x =  sup xn : n  N }.
v  X konvergen ke x

b.      Pada kasus X = (xn) turun terbatas
Misal Y : -X  = (-xn) , sehingga Y naik terbatas.
Berdasarkan (a) di peroleh
Lim Y = sup {- xn : n  N }.
Klaim : sup {- xn : n  N }. = - inf {- xn : n  N }.
di peroleh , Lim X = -lim (-X)                        (teorema 3.2.3)
                               = -lim Y                            (karena Y = -X)
            `                   = ifn {xn : n  N }.
Dengan demikian X konvergen ke inf {xn : n  N }.atau lim (xn)      inf {xn : n  N }.
Bukti :
Akan dibuktikan sup { -xn :  N } = inf { xn  : n  N }
Misalkan inf { xn : n  N } = u
u = inf { xn : n  N } Þ u  xn,  n  N
       Þ -u  -xn,  n  N
       Þ -u batas atas dari { -xn : n  N }
Misalkan w sebarang batas atas dari { -xn : n N }
w sebarang batas atas dari { -xn : n  N } Þ w  -xn,  n  N
                                                                   Þ -w  xn,   n  N
                                                                   Þ -w batas atas dari { xn : n  N }
-w batas atas dari { xn : n  N } Þ -w  u = inf { xn : n  N }
                                                    Þ w  -u
Karena –u batas atas { -xn : n  N } dan w sebarang batas atas { -xn : n  N } menyebabkan w  -u, dengan demikian –u = sup { -xn : n  N }. Jadi, sup { -xn : n  N } = - inf { xn : n  N }
Kesimpulan lim X = -lim Y = -sup { -xn : n  N } = inf { xn : n  N }.
Teorema konvergensi kemonotonan menjamin eksistensi limit dari barisan monoton terbatas. Teorema ini juga merupakan salah satu cara untuk menentukan limit dari barisan asalkan kita dapat menduga supremum dalam kasus (a) atau infimum dalam kasus (b)

3.3.5 Contoh
(a) lim ( ) = 0
      Bukti :
Akan di tunjukkan dengan menggunakan teorema konvergensi monoton. Karena suku-suku dari ( ) terbatas di bawah dengan 0.
Sehingga {  : n  N} mempunyai infimum.
Klaim : inf {  : n  N } = 0.
Karena inf {  : n  N} = 0, berdasarkan teorema 3.2.3, maka lim ( ) = 0
Bukti klaim : Berdasarkan lemma 1.4.3,
Ambil , ada  k  N,sedemikian sehingga 0 +  =
Jadi inf {  : n  N} = 0.
(b) Misalkan xn = 1    , n N
      Akan ditunjukkan bahwa (xn) tidak konvergen.
Bukti:
xn : 1    , n N
xn+1= xn+  xn
Sehingga (xn) barisan naik.
Untuk menunjukkan barisan (xn) tidak konvergen cukup dengan menunjukkan barisan (xn) tidak terbatas. Kita perhatikan pada suku ke-2n.
X2n = 1+  +…+
        1 +
       = 1 +
       = 1 + …+
        = 1
X2n
Kita perhatikan (1+ ). ( M R Ù M 0 ) (  n  N )  n  2M.
Sehingga 1+    1 +  = 1+ M M.
Jadi ( 1+ ) tidak terbatas. Oleh karena x2n  1 + ,  n  N sehimgga (xn) tidak terbatas. Oleh karena itu (xn) tidak konvergen.
(c) Misalkan Y= (yn), dengan y1 : = 1, yn+1 : =  (2yn + 3) untuk ≥ 1.
      Akan ditunjukkan bahwa limit Y =
Bukti :
Akan ditunjukkan bahwa Y konvergen.
(i). Akan dibuktikan : yn terbatas.
     y1 : = 1, y2 =  . ini berarti y1 y2  2
dengan menggunakan induksi matematika, akan ditunjukkan yn  2  n  N
misalkan S1 : ={ n  N, yn  2}
(i)                 y1 : = 1 jadi 1  S1.
(ii)               Asumsikan k  S1 yaitu yk  2, akan ditunjukkan k+1  S1.
yk+1 =  (2yk + 3)    (4+3) =
jadi k+1  S1.
                  Dari (i) dan (ii) disimpulkan yn   n  N
(ii). Akan ditunjukkan Y monoton naik.
        Misalkan S2 : = { n N | yn  yn+1 }.
(i)                 n = 1, 1= y1  y2 = . Jadi 1  S1.
(ii)               Asumsikan benar k  S2 berarti yk   yk+1 akan ditumjukkan k+1  S2 apabila yk+1  y2+1
Bukti:
yk   yk+1 Û 2 yk  2 yk+1
                Û 2 yk + 3  2 yk+1 + 3
                Û  (2 yk + 3)    ( 2 yk+1 +3 )
                Û yk+1 =  (2 yk + 3)    ( 2 yk+1 +3 ) = yk+2
                           k+1 S.
        Dari (i) dan (ii) disimpulkan yn  yn+1  n  N.
Karena Y terbatas dan monoton maka Y konvergen. Pada kasus ini tidak mudah untuk menentukan lim (yn) dengan mencari sup { yn : n  N }. Cara lain yang di gunakan untuk menentukan lim (yn) adalah dengn menggunakan T.3.1.8. Misalkan lim (yn) = y
                                                                 yn+1 =  (2 yn + 3 )
                                                                 lim (yn+1) = lim   (2 yn + 3 )
                                                                           =   (2 y + 3 )
Karena lim (yn) = lim (yn+1), maka y =  (2 y + 3 )
                                                           =  y +
                                                           =
Disimpulkan bahwa : lim (yn) =




                                                                








DAFTAR PUSTAKA







Tidak ada komentar:

Posting Komentar