Ruang-ruang vektor

BAB I

PENDAHULUAN

1.1       LATAR BELAKANG

Banyak orang yang beranggapan bahwa Matematika itu rumit, karena alasan itulah banyak orang yang menghindari Matematika. Padahal Matematika dapat kita jumpai di dalam kehidupan sehari-hari, dan mau tidak mau kita pasti menggunakan Matematika. Oleh karena itu kami membuat makalah ini dengan maksud membantu pemahaman masyarakat agar mereka tidak menilai Matematika adalah sesuatu yang buruk.

1.2       TUJUAN

Makalah ini dibuat dengan tujuan utama untuk memenuhi tugas mata kuliah Aljabar Linear , yang diberikan oleh dosen kami bapak Surya wisada dachi,Mpd. Dan tujuan berikutnya adalah sebagai sumber informasi yang kami harapkan bermanfaat dan dapat menambah wawasan para pembaca makalah ini.

1.3       METODE PENULISAN

Penulis menggunakan metode observasi dan kepusatakaan.

Cara yang digunakan dalam penulisan adalah Studi pustaka.

Dalam metode ini penulis membaca buku-buku yang berkaitan dengan penulisan makalah ini, selain itu penulis juga mencari sumber-sumber dari internet.

BAB II

RUANG – RUANG VECTOR

2.1   RUANG-N EUCLIDIS

Definisi : jika n adalah sebuah bilangan bulat positif, maka tupel-n-terorde (ordered-n-tupel) adalah sebuah urutan n bilangan riil (a₁,a₂,………,a_n). himpunan semua tupe-n-terorde dinamakan ruang-n dan dinyatakan dengan Rⁿ .

Bila n=2 atau 3, maka kita biasanya menggunakan istilah pasangan terorde dan tripel terorde dan bukannya tupelo-2-terorde dan tupelo-3-terorde. Bila n=1, setiap tupel-n-terorde terdiri dari satu bilangan riil, sehingga R¹ dapat ditinjau sebagai himpunan bilangan riil. Kita biasanya menuliskan R dan bukannya R¹ untuk himpunan ini.

Definisi dua vector u = (u₁,u₂,…..,u_n) dan v = (v₁,v₂,….,v_n)pada Rⁿ dinamakan sama jika

U₁ = v₁, u₂ = v₂, …..,u_n = v_n

Jumlah u + vdidefinisikan oleh

u + v = (u₁ + v₁, u₂ + v₂,….,u_n + v_n)

dan jika k adalah sebarang scalar, maka perkalian scalar ku didefinisikan oleh

ku = (ku₁, ku₂,…..ku_n)

Teorema 1. Jika u = (u₁,u₂,…..,u_n) , v = (v₁,v₂,….,v_n) dan w = (w₁, w₂,…..,w_n) adalah vector-vektor pada Rⁿ dan k serta l adalah scalar, maka :

a)      U + v = v + u

b)      U + (v + w) = (u + v) + w

c)      U + 0 = 0 + u = u

d)     U + (-u) = 0, yakni u – u = 0

e)      K (lu) = (kl) u

f)       K(u + v) = ku + kv

g)      (k + l)u = ku + lu

h)      1u = u

Definisi. Jika u = (u₁,u₂,…..,u_n)  dan v = (v₁,v₂,….,v_n) adalah sebarang vector pada Rⁿ, maka hasil kali dalam euclidis (Euclidean inner product) u . v kita definisikan dengan

u.v = u₁ v₁ + u ₂v₂ + ….. + u_n v_n 

Teorema 2.  Jika u, v, dan w adalah vector pada Rⁿ dan k adalah sebarang scalar, maka :

a)      u . v =  v . u

b)      (u + v) . w = u . w + v . w

c)      (ku) . v = k(u + v

d)     v . v ≥ 0. Selanjutnya, v . v = 0 jika dan hanya jika v = 0

2.2   RUANG VEKTOR UMUM

Definisi. Misalkan V sebarang himpunan benda yang dua operasinya kita definisikan, yakni penambahan dan perkalian dengan scalar (bilangan riil). Penambahan tersebut kita pahami untuk mengasosiasikan sebuah aturan dengan setiap pasang benda u dan v dalam V, yang mengandung elemen u + v, yang kita namakan jumlah u dan v; dengan perkalian scalar kita artikan aturan untuk mengasosiasikannya baik untuk setiap scalar k maupun setiap benda u pada V yang mengandung elemen ku, yang dinamakan perkalian scalar (scalar multiple) u oleh k. jika aksioma-aksioma berikut dipenuhi oleh semua benda u, v, w pada V dan oleh semua scalar k dan l, maka kita namakan V sebuah ruang vector (vector space) dan benda – benda pada V kita namakan vector :

1)      jika u dan v adalah benda – benda pada V, maka u + v berada di V

2)      u + v = v + u

3)      u + (v + w) = (u + v) + w

4)      ada sebuah benda 0 di V sehingga 0 + u = u + 0 = u untuk semua u di V

5)      untuk setiap u di V, ada sebuah benda – u di V yang kita namakan negative u sehingga u + (- u ) = (-u)+u = 0

6)      jika k adalah sebarang scalar dan u adalah sebarang benda di V, maka ku berada di V

7)      K(u + v) = ku + kv

8)      (k + l)u = ku + lu

9)      K (lu) = (kl) u

10)  1u = u

Teorema 3. Misalkan V adalah sebuah ruang vector, u sebuah vector pada V, dan k sebuah skalar, maka:

a)      0u = 0

b)      K0 = 0

c)      (-1)u = -u

d)     Jika ku = 0, maka k = 0 atau u = 0

2.3   SUB-RUANG

Definisi : Subhimpunan W dari sebuah ruang vector V dinamakan subruang (subspace) V jika W itu sendiri adalah ruang vector di bawah penambahan dan perkalian scalar yang didefinisikan pada V.

Teorema 4

Jika w adalah himpunan dari satu atau lebih vector dari sebuah ruang vector V, maka w adalah subruang dari V  jika dan hanya jika kondisi-kondisi berikut berlaku.

a)      Jika u dan v adalah vector-vektor pada , maka u + v terletak di w

b)      Jika k adalah sebarang scalar dan u adalah sebarang vector pada w, maka ku berada di w. 

Definisi. Jika v₁, v₂,…,v_r  adalah vector – vector pada ruang vector V dan jika masing – masing vector pada V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear  v₁, v₂,…,v_r  maka kita mengatakan bahwa vetor – vector ini merentang V.