3.6. Barisan-barisan
Divergen Murni
Untuk tujuan-tujuan tertentu
dipandang baik sekali untuk mendefinisikan atau yang dimaksudkan dengan suatu
barisan bilangan real (xn) yang “ menuju ke ± ¥“.
3.6.1. Definisi.
Misalkan (xn) suatu barisan bilangan
real.
(i). Kita katakan bahwa (xn) menuju
ke + ¥, dan ditulis lim (xn) = +¥, jika untuk setiap aÎR terdapat
bilangan asli K(a) sedemikian sehingga jika
n ³ K(a), maka
xn > a.
(ii). Kita katakan bahwa (xn) menuju
ke - ¥, dan ditulis lim (xn) = - ¥, jika untuk setiap bÎR terdapat
bilangan asli K(b) sedemikian sehingga jika
n ³ K(b), maka xn < b.
Kita katakan bahwa (xn) divergen
murni dalam hal kita mempunyai lim (xn) = +¥ dan (xn) = - ¥.
3.6.2. Contoh-contoh
(a). lim (n) = + ¥.
Kenyataannya,
jika diberikan aÎR, misal
K(a) sebarang
bilangan asli
sedemikian sehingga K(a) > a.
(b). lim (n2) = + ¥.
Jika K(a) suatu bilangan asli sedemikian sehingga K(a) > a, dan jika n ³ K(a) maka kita mempunyai n2 ³ n > a.
(c). Jika c > 1,
maka lim (cn) = + ¥
Misalkan c = 1 + b, dimana b > a, Jika diberikan aÎR, misal K(a) suatu bi-
langan asli sedemikian
sehingga K(a)
> ab . Jika n ³ K(a) maka menurut ketaksama-
an Bernoulli
Barisan-barisan monoton khususnya
adalah sederhana dalam memandang konvergennya. Kita telah melihat dalam Teorema
Konvergensi Monoton 3.2.2 bahwa suatu barisan monoton adalah konvergen jika dan
hanya jika terbatas. Hasil berikut adalah suatu reformulasi dari hasil tersebut
di atas.
3.6.3. Teorema.
Suatu barisan bilangan real yang
monoton divergen murni jika dan hanya
jika barisan tersebut tidak terbatas.
(a). Jika
(xn) suatu
barisan naik tak terbatas, maka lim (xn) = +¥
(b). Jika (xn) suatu barisan turun tak
terbatas, maka lim (xn)
= -¥
Bukti :
(a). Anggaplah bahwa (xn) suatu
barisan naik. Kita ketahui bahwa jika (xn)
terbatas, maka (xn) konvergen. Jika (xn) tak
terbatas, maka untuk sebarang aÎR terdapat
n(a)ÎN
sedemikian sehingga a < xn(a). Tetapi karena (xn), kita mempunyai
a < xn untuk
semua n ³ n(a). Karena
a sebarang, maka berarti lim (n) = + ¥.
Bagian (b) dibuktikan
dengan cara yang serupa.
“ Teorema
perbandingan” berikut senantiasa akan dipergunakan dalam
menunjukkan bahwa suatu barisan divergen murni. [Pada kenyataannya, tidak
digunakan secara implisit dalam contoh 3.6.2 (c)].
3.6.4. Teorema.
Misalkan (xn) dan (yn) dua
barisan bilangan real
dan anggaplah
bahwa
(*) xn £ yn untuk semua nÎN.
(a). Jika lim (xn) = + ¥, maka lim (yn) = + ¥.
(b). Jika lim (yn) = - ¥, maka lim (xn) = - ¥.
Bukti :
(a) Jika lim (xn) = + ¥, dan jika diberikan aÎR, maka
terdapat bilangan asli K(a) sedemikian sehingga jika
n ³ K(a), maka a < xn. Mengingat (*), berarti a < yn untuk semua n ³ K(a). Karena a sebarang, maka ini menyatakan bahwa lim (yn) = + ¥.
Pembuktian bagian (b)
dilakukan dengan cara yang serupa.
Remakkan :(a).
Teorema 3.6.4 pada akhirnya benar jika syarat (*) pada akhirnya benar; yaitu,
jika
terdapat
m Î N sedemikian sehingga xn £
yn untuk
semua n ³ m.
(b). Jika syarat (*) dari teorema
3.6.4 memenuhi dan jika lim (yn) = + ¥, tidak mesti berlaku bukan lim (xn) = + ¥. Serupa juga, jika (*) dipenuhi dan jika lim (xn) = - ¥, belum tentu berlaku lim (yn) = - ¥. Dalam pemakaian teorema 3.6.4 untuk menunjukkan bahwa suatu
barisan menuju ke + ¥ [atau ke -¥] kita perlu untuk menunjukkan bahwa suku-suku dari barisan
ini adalah pada akhirnya lebih besar dari [atau lebih kecil] atau sama dengan
suku-suku barisan lain yang bersesuaian dimana barisan lain kita ketahui bahwa
menuju ke + ¥ [atau ke - ¥].
Karena kadang-kadang sangat sulit
untuk memperlihatkan ketaksamaan seba-gaimana (*), maka “ Teorema
Perbandingan Limit” berikut masing-masing lebih tepat untuk
digunakan daripada Teorema 3.6.4.
3.6.5. Teorema.
Misalkan (xn) dan (yn) dua
barisan bilangan real positif dan ang-gaplah bahwa untuk suatu LÎR, L > 0, kita mempunyai
|
|
|
xn
|
|
|
|
(#)
|
lim
|
= L
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
yn
|
|
||
Maka lim (xn) = + ¥ jika dan hanya jika lim
(yn) = + ¥
Bukti :
Jika (#) berlaku, maka terdapat KÎN sedemikian sehingga
|
1
|
L <
|
xn
|
<
|
3
|
L untuk semua n ³ K
|
|
|
|
yn
|
|
|
|||
|
2
|
|
2
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Dari sini kita mempunyai (21 L)yn < xn < (23 L)yn untuk semua n ³ K. Sekarang ke-
simpulan didapat dari suatu
modifikasi kecil teorema 3.6.4. Detailnya ditinggalkan untuk dikerjakan oleh
pembaca.
Pembaca dapat menunjukkan bahwa konklusi tidak perlu berlaku
jika L = 0 atau L = + ¥. Akan tetapi ada suatu
hasil parsial belum dapat ditunjukkan dalam ka-sus-kasus ini, seperti telah
diperlihatkan dalam latihan.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar