BAB I
PENDAHULUAN
1.1
LATAR
BELAKANG
Banyak orang yang beranggapan bahwa Matematika itu
rumit, karena alasan itulah banyak orang yang menghindari Matematika. Padahal
Matematika dapat kita jumpai di dalam kehidupan sehari-hari, dan mau tidak mau
kita pasti menggunakan Matematika. Oleh karena itu kami membuat makalah ini
dengan maksud membantu pemahaman masyarakat agar mereka tidak menilai
Matematika adalah sesuatu yang buruk.
1.2
TUJUAN
Makalah ini dibuat dengan tujuan utama untuk
memenuhi tugas mata kuliah Aljabar Linear , yang diberikan oleh dosen kami bapak Surya wisada dachi,Mpd.
Dan tujuan berikutnya adalah sebagai sumber informasi yang kami harapkan
bermanfaat dan dapat menambah wawasan para pembaca makalah ini.
1.3 METODE PENULISAN
Penulis menggunakan metode observasi dan
kepusatakaan.
Cara yang digunakan dalam penulisan adalah Studi
pustaka.
Dalam metode ini penulis membaca buku-buku yang
berkaitan dengan penulisan makalah ini, selain itu penulis juga mencari
sumber-sumber dari internet.
BAB II
RUANG – RUANG VECTOR
2.1
RUANG-N EUCLIDIS
Definisi :
jika n adalah sebuah bilangan bulat positif, maka tupel-n-terorde
(ordered-n-tupel) adalah sebuah urutan n bilangan riil (a1,a2,………,an).
himpunan semua tupe-n-terorde dinamakan ruang-n dan dinyatakan dengan Rn
.
Bila n=2 atau 3, maka kita
biasanya menggunakan istilah pasangan terorde dan tripel terorde dan bukannya
tupelo-2-terorde dan tupelo-3-terorde. Bila n=1, setiap tupel-n-terorde terdiri
dari satu bilangan riil, sehingga R1 dapat ditinjau sebagai himpunan
bilangan riil. Kita biasanya menuliskan R dan bukannya R1 untuk
himpunan ini.
Definisi
dua vector u = (u1,u2,…..,un) dan v = (v1,v2,….,vn)pada
Rn dinamakan sama jika
U1
= v1, u2 = v2, …..,un = vn
Jumlah
u + vdidefinisikan oleh
u
+ v = (u1 + v1, u2 + v2,….,un +
vn)
dan
jika k adalah sebarang scalar, maka perkalian scalar ku didefinisikan oleh
ku
= (ku1, ku2,…..kun)
Teorema 1.
Jika u = (u1,u2,…..,un) , v = (v1,v2,….,vn)
dan w = (w1, w2,…..,wn) adalah vector-vektor
pada Rn dan k serta l adalah scalar, maka :
a) U
+ v = v + u
b) U
+ (v + w) = (u + v) + w
c) U
+ 0 = 0 + u = u
d) U
+ (-u) = 0, yakni u – u = 0
e) K
(lu) = (kl) u
f) K(u
+ v) = ku + kv
g) (k
+ l)u = ku + lu
h) 1u
= u
Definisi.
Jika u = (u1,u2,…..,un) dan v = (v1,v2,….,vn)
adalah sebarang vector pada Rn, maka hasil kali dalam euclidis
(Euclidean inner product) u . v kita definisikan dengan
u.v
= u1 v1 + u 2v2 + ….. + un
vn
Teorema 2. Jika u, v, dan w adalah vector pada Rn
dan k adalah sebarang scalar, maka :
a) u
. v = v . u
b) (u
+ v) . w = u . w + v . w
c) (ku)
. v = k(u + v
d) v
. v ≥ 0. Selanjutnya, v . v = 0 jika dan hanya jika v = 0
2.2 RUANG VEKTOR UMUM
Definisi.
Misalkan V sebarang himpunan benda yang dua operasinya kita definisikan, yakni
penambahan dan perkalian dengan scalar (bilangan riil). Penambahan tersebut
kita pahami untuk mengasosiasikan sebuah aturan dengan setiap pasang benda u
dan v dalam V, yang mengandung elemen u + v, yang kita namakan jumlah u dan v;
dengan perkalian scalar kita artikan aturan untuk mengasosiasikannya baik untuk
setiap scalar k maupun setiap benda u pada V yang mengandung elemen ku, yang
dinamakan perkalian scalar (scalar multiple) u oleh k. jika aksioma-aksioma
berikut dipenuhi oleh semua benda u, v, w pada V dan oleh semua scalar k dan l,
maka kita namakan V sebuah ruang vector (vector space) dan benda – benda pada V
kita namakan vector :
1) jika
u dan v adalah benda – benda pada V, maka u + v berada di V
2) u
+ v = v + u
3) u
+ (v + w) = (u + v) + w
4) ada
sebuah benda 0 di V sehingga 0 + u = u + 0 = u untuk semua u di V
5) untuk
setiap u di V, ada sebuah benda – u di V yang kita namakan negative u sehingga
u + (- u ) = (-u)+u = 0
6) jika
k adalah sebarang scalar dan u adalah sebarang benda di V, maka ku berada di V
7) K(u
+ v) = ku + kv
8) (k
+ l)u = ku + lu
9) K
(lu) = (kl) u
10) 1u
= u
Teorema
3. Misalkan V adalah sebuah ruang vector, u sebuah
vector pada V, dan k sebuah skalar,
maka:
a) 0u
= 0
b) K0
= 0
c) (-1)u
= -u
d) Jika
ku = 0, maka k = 0 atau u = 0
2.3 SUB-RUANG
Definisi :
Subhimpunan W dari sebuah ruang vector V dinamakan subruang (subspace) V jika W
itu sendiri adalah ruang vector di bawah penambahan dan perkalian scalar yang
didefinisikan pada V.
Teorema 4
Jika
w adalah himpunan dari satu atau lebih vector dari sebuah ruang vector V, maka
w adalah subruang dari V jika dan hanya
jika kondisi-kondisi berikut berlaku.
a) Jika
u dan v adalah vector-vektor pada , maka u + v terletak di w
b) Jika
k adalah sebarang scalar dan u adalah sebarang vector pada w, maka ku berada di
w.
Definisi.
Jika v1, v2,…,vr adalah vector – vector pada ruang vector V
dan jika masing – masing vector pada V dapat dinyatakan sebagai kombinasi
linear v1, v2,…,vr maka kita mengatakan bahwa vetor –
vector ini merentang V.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar